ЛІЧБА НА ПАЛЬЦЯХ

  Винайти цей унікальний інструмент судилося людині самою долею. Адже він поєднував у собі не тільки набір множин-еталонів, а й, так би мовити, живу шкалу, математичну таблицю, навіть обчислювальну машину. З одного боку, пальці — сукупність однорідних елементів, а з другого — кожен відрізнявся від інших і мав свою назву. Тобто множина їх певним чином упорядкована, що мало вирішальне значення для формування ряду натуральних чисел. З часом і ця шкала виявилася короткою. Тоді її подовжили за рахунок інших частин людського тіла, жестів.

  Лічбу за допомогою такої шкали починали з мізинця лівої руки, перебравши всі пальці, переходили до зап'ястя, ліктя, плеча — і аж до мізинця правої руки. Якщо перелік не закінчувався, йшли у зворотному порядку. Результат запам'ятовувався у формі міти (пальця, іншої частини тіла, жесту), на якій закінчувався рахунок. Коли ж потрібно було використати одержану інформацію, лічбу повторювали.

  Ось як письменник Т. Сьомушкін, який багато років провів серед чукчів, описує чуттєво-образну і пальцеву лічбу.

  «Уроки арифметики, — розповідає він, — чукотські діти люблять не менше за розмови на папері» — читання й письма. Але тут на заваді стає їхній рахунок п'ятірками, за числом пальців на кожній руці і нозі. Дорослі чукчі такою лічбою користуються у межах тисячі й рідко коли помиляються, хоча лічать вельми довго. Для більшої зручності вони інколи роззуваються, й лічба ведеться на двадцяти пальцях рук і ніг. П'ять чоловік складають сотню.

  Одного разу, проїжджаючи повз стійбище, я побачив на схилі гори стадо оленів. Їх було 128. Коли я спитав табунника, скільки в нього оленів, той відповів:

— Не лічив. Але якщо хоч один олень зникне із стада, очі мої одразу помітять.

— А полічити їх можеш?

— Якщо треба... Тільки це буде довго, їдь поки що в ярангу (помешкання чукчів), а тим часом...

  У яранзі ми встигли перекусити, випити чаю, погомоніти з господарем, а години через дві з'явився табунник. Він назвав число — 128.

  Старий господар подивувався:

— Напевно, ти помилився. Так багато оленів у нас ще не було. І вирішив перевірити... Для цього він роззувся й через три години повідомив, що рахунок правильний — він пам'ятав кожну тварину. Щоправда, для лічби не вистачило родини із п'яти чоловік, довелося запросити ще двох із сусідньої яранги...

  У всіх народів пальцева лічба передує числівникам усного мовлення, що певною мірою зумовило і їх назви. Скажімо, слов'янське «п'ять» утворилося від частини руки — «п'ясть». Числівник «десять» у багатьох мовах означає буквально «дві руки», а «двадцять» — «людина».

  У деяких африканських мовах числівники означають ще и конкретні дії над пальцями, за допомогою яких кодуються числа. Мови різняться лише конкретними операціями лічби: «сім» може означати або «загни два пальці на другій руці» (5 + 2 = 7), або «загни в протилежний бік 3 пальці» (10-3 = 7).

  Як бачимо, найдавніші числові назви за значенням ніби подібні до сучасних числівників, але різняться тим, що, позначаючи кількість перелічуваних предметів, усвідомлювалися як предмети або дії над ними. Власне, вони відображають той ранній етап мислення, коли при лічбі людина ще не могла абстрагувати (відокремити) кількість від інших конкретних властивостей.

  Лічба на пальцях — наочна і практична. Особливо коли обмінюються числовою інформацією люди, які не мають спільної мови. Пальцева арифметика тривалий час вивчалася навіть у школах. Ціцерон, наприклад, в одній із своїх промов гостро критикував римські школи, де замість таблиці множення користувалися пальцевим рахунком.

  З часом за допомогою пальців і жестів люди навчилися зображувати числа від 1 до 106. Але для чисел, починаючи з 10 000, потрібні були такі жести, які більше нагадували балет.

  Способи пальцевої лічби знаходимо в багатьох посібниках з математики XIII—XVI століть. Так, зокрема в «арифметиці» російського математика Л. П. Магницького, числа 1, 2, 3 ... 9 називають «перстами», повні десятки «составами», а числа, складені з десятків і одиниць, — «сочинениями».

  Між іншим, існує гіпотеза, що відбитки рук палеолітців на стінах печер — це прадавні архіви пальцевої лічби. На стінах печери Гаргас у Франції ціла колекція подібних відбитків, де часто не вистачає одного, двох, трьох, чотирьох пальців. Цілком імовірно, що саме в такий спосіб палеоліт-ці зображували числа.

  Ускладнення людської діяльності наблизило час, коли й подовжена жива шкала стала замалою. Тоді її доповнили палички, камінці, черепашки, зарубки на кістках. У кожному регіоні люди користувалися своїми еталонами лічби і способом кодування кількостей предметів та явищ.

  Про лічбу камінцями нагадує термін «калькулятор». Адже латиною саісш — означає «галька», «голиш». Від нього пішло і саісиіаіог — «обчислювати».

  До речі, у виразі «зарубати на носі» слово «ніс» ніякого відношення до органу нюху не має. Його у давнину використовували в значенні, пов'язаному з дієсловом носити. Приміром, носити при собі бирки — дерев'яні палички або дощечки, на яких за допомогою зарубок кодувалася числова інформація: дні, кількість зібраного врожаю, поголів'я худоби.

  Про використання бирок написано багато. Яких тільки прикростей завдали вони, скажімо, героям «Конотопської відьми» Квітки-Основ'яненка. Бирка, на якій вівся облік козаків конотопської сотні, перетворилася на таку довгу хворостину, що писар не міг увійти з нею в хату. Довелося переламати «репорт об сотеннім народочисленії» на дві частини. Природно, хворостина хруснула саме на зарубці, і це вкрай порушило бухгалтерію писаря Пістряка.

  Траплялися пригоди й сумніші. 1834 року в Англії при ліквідації селянських боргів було вирішено спалити всі боргові бирки в печах будинку парламенту. Від цього сталася пожежа, згорів парламент, а заодно пропав і вмурований у стіну еталон англійської міри довжини — фут.

 Як життя формувало засоби лічби, яскраво ілюструють інки — винахідники «вузлового письма», або кіпу (мовою кечуа — вузол). Кіпу фіксувало практично все, що піддавалося лічбі: кількість населення, природні багатства, навіть диких тварин, яких добували під час полювань. Інформацію доправляли в столицю царства бігуни, долаючи сотні, а то і тисячі кілометрів. Будь-яка похибка в лічбі каралася стратою. Звичайно, за таких умов клубки різнокольорових ниток із вовни мали неабиякі переваги перед іншими способами кодування і передачі інформації. ЕОМ засвідчила: кіпу лише із трьох ниток склала 365 535 720 353 комбінації вузлів. А з чотирьох, п'яти? До речі, в храмі Пачакамака знайшли кіпу масою 6 кг. Таким клубком ниток можна сполучити Москву із Санкт-Петербургом. У ньому цілком могла вміститися числова інформація багатотомного статистичного довідника

ЧИЙ ЖЕ НУЛЬ?

  Питання про те, хто першим відкрив нуль, не раз обговорювалося вченими. До якогось часу вважалося, що індіанці запозичили його у греків. Але є й інші припущення: нуль прийшов у Індію не з заходу, а зі сходу, тобто з Китаю. Походження його так і не встановлено.

  Сама ж історія нуля — чи не найтриваліша драма в пізнанні наукової абстракції. У лічбі він не потрібний, та без нього не обійтися в жодному численні.

  Закономірно, потреба виявилася спершу в нумераціях. Проте і сюди нуль входив тільки як протонуль. Дії з ним описували в термінах «борг», «порожнє», що породжувало численні загадки. Справді, добуток будь-якого числа на нуль — завжди нуль. Його не одержиш як результат дій над будь-якими двома нерівними числами. Всяке число можна брати у відношенні до іншого, та тільки не до нуля: діє непорушне вето — ділення на нуль. Хоча ділення нуля на будь-яке відмінне від нього число завжди дасть нуль. Відношенню двох нулів довелося відмовити в будь-якому значенні, бо воно могло дорівнювати будь-якому числу.

  Своєрідність нуля спричинила його відчуження од чисел аж до XVII століття. Щоправда, італійський математик Фібоначчі ще у XIII столітті використав корінь рівняння, рівний нулеві. І вже голландець Жірар удруге визнав 0 коренем рівняння, а отже, і числом.

Література також реагувала на широке використання і неординарність числа 0. Герой Шекспірової «Зимової казки» Поліксен говорить:

Вже час

Додому нам із вдячністю вертатись,

Нам, вічним боржникам.

Неначе нуль,

Що збільшує всі попередні числа,

Оце «Спасибі!», мовлене востаннє,

Безмежно множить попередні дяки.

  Важче приходило розуміння того, чому так буває. І не тільки до письменників. Таємницю нуля не могли розгадати й видатні математики того часу. Професор Оксфордського університету Джон Валліс, який збагатив науку найпередовішими ідеями про число, попри все вважав, що нуль є початком чисел, а не числом.

  Тільки відкриття методу координат і зображення чисел точками на осі остаточно розв'язало питання на користь числової природи нуля.

  У латинських перекладах арабських трактатів XII століття знак «0» називали «кружком» — сігсиіш, або пипа — «ніякий знак».

Зрештою, нуль розкрили як складне поняття, без якого неможливо уявити не тільки сучасну математику, а й популярні метафори: «нуль — ціна», «нуль без палички», «звести до нуля».

  Цікаво, що нуль — єдине число, якому споруджено пам'ятник. У центрі Будапешта, поблизу одного із мостів, стоїть кам'яна статуя нуля. Напис «0 км» на п'єдесталі символізує початок усіх доріг у країні.

ЧИСЛА-СУКУПНОСТІ

  Предметна конкретизація чисел вела в глухий кут на шляху до подолання нескінченності. Щоправда, якоюсь мірою проблему розв'язували множини-еталони — найзручнішими стали сукупності однорідних частин людського тіла, фази Місяця.

  Згодом в еталонах лічби було виділено їх характеристики, які спершу існували тільки в поєднанні з предметами. Скажімо, у туземців Флориди «на-куа» означає 10 яєць, «на-банар» — 10 кошиків з харчами, але окремого слова «на» ще немає. На одному з діалектів індіанців Західної Канади: «тха» — 3 речі, «тхане» — 3 облич, «тхат» — три рази, «тхатоен» — у трьох місцях. Здавалося б, ще одне зусилля думки і число «три» народиться.

  Але й на фінішній прямій до числа вистачало перешкод. По-перше, для численних груп предметів доводилося створювати свої ряди лічби — залежно від того, що лічать: тварин, дні, довгі чи круглі предмети. По-друге, для позначення малих і великих кількостей різних предметів використовувалися й різні слова: натовп, купа, зграя, табун, ліс.

  Наочна одноманітність предметів певної сукупності видавалася необхідною умовою для того, щоб полічити їх одним способом. Але за межами сукупності все було складніше. Те, що два мамонти вимагали такого ж позначення кількості, як дві мурахи, вступило в протиріччя з наочно-образною природою первісного мислення. Адже числові назви ще не уявлялися відокремлено від фізичних прообразів — предметів.

  Перевага чисел-сукупностей над попередніми заготовками натуральних чисел полягала в тому, що кожне з них моделювало не якусь сукупність фізичних предметів, а певні класи рівночисельних скінченних множин. Тому числа-сукупності й стали вирішальним етапом на шляху формування нових математичних ідей.